Số nguyên tố là gì? Đây là định nghĩa mà hầu hết học sinh ngày nay phải nắm vững để giải toán chính xác. Đây cũng là kiến thức nền tảng để các bạn làm tốt các bài kiểm tra, kỳ thi quan trọng. Vậy nên bài viết sau đây sẽ chia sẻ rõ hơn về số nguyên tố và đặc điểm của nó để các bạn tìm hiểu.
Định nghĩa của số nguyên tố là gì?
Số nguyên tố được hiểu là tổ hợp các số tự nhiên có thể chia hết cho 1 và chia hết cho chính nó. Ta có thể dễ dàng hiểu rằng số nguyên tố là một số trong một số tự nhiên có giá trị lớn hơn 1. Ngoài việc chia hết cho 1 và chia hết cho chính nó, một số nguyên tố không thể chia hết cho bất kỳ số nào khác.
Nếu trong toán học có một số có thể chia hết cho một số khác ngoài chính nó và số 1, thì số đó được coi là hợp số. Để hiểu rõ hơn, bạn có thể xem ví dụ về số nguyên tố 11.
Hãy tưởng tượng bạn có 11 quả lê và bạn cần chia đều số táo này cho bạn bè của mình (bằng hoặc lớn hơn hai), ví dụ, cho 5 người. Bây giờ bạn không thể chia đều 11 quả lê này cho 5 người bạn vì 11 là số nguyên tố và chỉ có thể chia hết cho 11 và 1.
Vậy ứng dụng của số nguyên tố là gì? Hiện nay, số nguyên tố được sử dụng rộng rãi trong toán học và chúng có mối liên hệ trực tiếp với các phương pháp tìm ước số chung nhỏ nhất. Trong lĩnh vực văn học, số nguyên tố biểu thị sự cô đơn. Các số nguyên tố, mặc dù rất gần nhau, nhưng vẫn cách nhau bởi các số chẵn như 3, 5, 7, 9. Do đó, các nhà thơ và nhà văn sẽ sử dụng số nguyên tố để thể hiện sự cô đơn của một ai đó trong tình yêu.
Số nguyên tố có những tính chất đặc biệt nào?
Số nguyên tố có một số đặc điểm sau đây giúp bạn tính toán đơn giản hơn:
- Số 2: Số chẵn duy nhất trong chuỗi số nguyên tố và là số nguyên tố nhỏ nhất.
- Số 11: Số nhỏ nhất có 2 chữ số trong dãy số nguyên tố.
- Số 101: Số nhỏ nhất có 3 chữ số trong dãy số nguyên tố.
- Số 97: Số lớn nhất có 2 chữ số trong dãy số nguyên tố.
- Số 997: Số 3 chữ số lớn nhất trong dãy số nguyên tố.
- Số lượng các số nguyên tố hiện tại là không giới hạn hoặc các tổ hợp số nguyên tố là vô hạn.
- Khi nhân hai số nguyên tố với nhau, kết quả không phải là số chính phương.
- Ước số nhỏ nhất (#1) của một số là một số nguyên tốt vì nó không thể chia hết cho bất kỳ số nào khác.
- Ước số nhỏ nhất (số dương #1) của bất kỳ tổ hợp số tự nhiên b nào là số nguyên tố không lớn hơn căn bậc hai của số b.
Phân tích thừa số nguyên tố là gì?
Đây là các số nguyên tố nhân với nhau và tạo ra một tích. Hoặc bạn có thể hiểu đơn giản là các thừa số nguyên tố được sử dụng để nhân các số nguyên tố với nhau. Sau đây là một ví dụ:
2 x 3 = 6. Vậy số 2 và 3 là số nguyên tố.
3 x 5 x 7 = 105. Vậy các số 3, 5 và 7 là các số nguyên tố.
Bảng số nguyên tố đầy đủ
Sau khi tìm hiểu số nguyên tố là gì, mọi người có thể tìm hiểu bảng tóm tắt đầy đủ về các số nguyên tố hiện tại:
Trong bảng trên, có hai số 0 và 1 không được coi là số nguyên tố.
Một số định nghĩa liên quan đến số nguyên tố
Có một số khái niệm khác liên quan đến loại số này như số nguyên tố cùng nhau. Những số này là những số trong chuỗi số tự nhiên và ước chung lớn nhất = 1. Sau đây là một số ví dụ về số nguyên tố cùng nhau:
- Số 2 so với số 3
- Số 5 và số 7
- Số 13 và số 27
Ngoài ra, chúng ta có thể tìm hiểu thêm một khái niệm khác về số nguyên tố, đó là số siêu nguyên tố. Số này có đặc điểm là khi bạn bỏ đi 1 chữ số bên phải nó, các chữ số còn lại có thể tạo ra một số nguyên tố mới. Ví dụ, 2333 là số có 4 chữ số và các số 2, 23, 233 đều là số nguyên tố. Ngoài ra, còn rất nhiều số siêu nguyên tố mà bạn thường gặp như 37337, 2339, 7333, 2393, 7393, …
Phương pháp tìm số nguyên tố là gì?
Hiện nay có nhiều cách giúp bạn tìm số nguyên tố như sau:
Kiểm tra số nguyên tố
Bạn có thể kiểm tra số nguyên tố đó, nếu số này nhỏ hơn 2 thì nó không phải là số nguyên tố. Bạn cũng có thể kiểm tra bằng cách đếm số ước của một số tự nhiên trong phạm vi từ 2 đến căn bậc hai của số đó. Nếu số này không có ước trong phạm vi từ 2 đến căn bậc hai của số đó, bạn có thể xác nhận rằng đó là số nguyên tố. Nếu không, nó không được coi là số nguyên tố.
Kiểm tra bằng phép chia thử nghiệm
Với phương pháp này, mọi người cần lấy số mình muốn kiểm tra và chia cho một số khác, về mặt lý thuyết, họ có thể xác định được số đó có phải là số nguyên tố hay không. Mặc dù đây là phương pháp đơn giản để tìm số nguyên tố, nhưng nó mất thời gian và có khả năng xảy ra lỗi khi bạn chia.
Lặp lại mỗi phần tử với cùng một bước nhảy.
Với phương pháp này bạn có thể làm theo các bước sau để kiểm tra số nguyên tố:
- Bước 1: Chọn bất kỳ số tự nhiên nào (n).
- Bước 2: Kiểm tra xem số đó có nhỏ hơn 2 không rồi đưa ra kết luận rằng số đó không nằm trong dãy số nguyên tố.
- Bước 3: Bạn cần kiểm tra liên tục từ số 2 đến số n – 1. Nếu trong khoảng lặp lại này xuất hiện một số chia hết cho số n thì ta có thể cho rằng số n không nằm trong dãy số nguyên tố. Nếu kết quả ngược lại thì số n nằm trong dãy số nguyên tố.
Lặp lại từng phần tử với bước hai
Theo khái niệm giải thích số nguyên tố là gì, 2 là số chẵn duy nhất trong dãy số nguyên tố. Do đó, bạn loại bỏ số 2 khỏi vòng lặp. Khi đó, trong vòng lặp, mọi người chỉ cần xem xét các số lẻ có phải là số nguyên tố hay không. Đó là phương pháp kiểm tra số nguyên tốt rất chính xác.
Bài tập ứng dụng số nguyên tố có đáp án
Sau khi đã học về số nguyên tố và tính chất của chúng, bạn có thể học một số bài tập ứng dụng như sau:
Hiện nay có rất nhiều dạng bài tập liên quan đến số nguyên tố tốt từ đơn giản đến phức tạp. Các bài tập chủ yếu được phân loại dựa trên đặc điểm của số này. Do đó, để làm được tất cả các bài tập liên quan đến số nguyên tố, bạn cần nắm được một số dạng bài tập phổ biến như sau:
- Bài tập về bội số và ước số nguyên tố.
- Bài tập về hiệu và tổng của các số nguyên tố.
- Bài tập về cách nhận biết số nguyên tố.
- Bài tập chứng minh số nguyên tố.
Sau đây là một số bài tập cụ thể về số nguyên tố:
Bài tập 1
Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố có tổng bằng 1322.
Trả lời:
- Vì tổng của 3 số trên là số chẵn nên 3 số này có thể là 3 số lẻ hoặc 3 số chẵn có 1 số lẻ.
- 1 trong 3 số trên phải là số chẵn.
- Vậy kết luận là số nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố trên là 2.
Bài tập 2
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho mỗi số sau được coi là số nguyên tố:
Trả lời:
Số nhỏ nhất trong dãy số nguyên tố là 1. Do đó (n – 5) lớn hơn 1 nên n sẽ lớn hơn 6. Khi xét số n = 6, ta có:
- n–5=1.
- n–4=2.
- n–3=3.
- n–1=5.
- n+1=7.
- n+5=11.
Vậy ta có các số 1 – 2 – 3 – 5 – 7 – 11 là các số nguyên tố. Vậy số tự nhiên n = 6 có thể thỏa mãn các điều kiện của bài tập.
Ta có thể kết luận rằng số tự nhiên n là 6.
Bài tập 3
Tìm số k thỏa mãn điều kiện 13k và 17k đều là số nguyên tố.
Trả lời:
Về mặt lý thuyết, một số được coi là số nguyên tốt khi nó chia hết cho chính nó và cho 1. Do đó, ta có:
Số 13 và số 17 đều nằm trong bảng số nguyên tố.
Để số 13k nằm trong bảng số nguyên tố thì k phải bằng 1.
Để số 17k nằm trong bảng số nguyên tố thì k phải bằng 1.
Vậy kết luận là các số 13k và 17k sẽ trở thành số nguyên tố khi k bằng 1.
Bài tập 4
Ta có 2 số 13 và 11. Vậy 2 số này có thể nguyên tố cùng nhau không?
Trả lời:
13 = 1 x 13
11 = 1 x 11
Do đó, ước chung lớn nhất của số 11 và 13 là 1 và đây cũng là 2 số nguyên tố cùng nhau.
Bài tập 5
Ta có 2 số 8 và 7. Vậy 2 số này có thể nguyên tố cùng nhau không?
Trả lời:
7 = 1 x 7
8 = 1 x 2 x 2 x 2
Vì vậy, ta thấy rằng ước chung lớn nhất giữa hai số 8 và 7 là 1. Ta kết luận rằng đây là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài tập 6
Ta có 2p + 2 và p đều là số trong bảng số nguyên tố (điều kiện p lớn hơn 5). Vậy số 4p + 1 là hợp số hay là số nguyên tố?
Trả lời:
- Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 → p không thể chia hết cho 3 → 4p không thể chia hết cho 3.
- Vì 2p + 1 được coi là số nguyên tố lớn hơn 3 → 2p + 1 không thể chia hết cho 3 → 2 (2p+1) không thể chia hết cho 3 hoặc 4p+2 không thể chia hết cho 3. Ngoài ra, trong ba số liền kề 4p; 4p+1; 4p+2, chỉ có 1 số chia hết cho 3. Do đó, 4p+1 chia hết cho 3. Và 4p+1 lớn hơn 3 → 4p+1 được coi là hợp số.
Bài viết trên đã giới thiệu khá nhiều về số nguyên tố là gì để các bạn tìm hiểu. Hy vọng các bạn có thể áp dụng các phương pháp tìm số nguyên tố trên để làm các bài tập liên quan nhanh hơn. Đây là kiến thức cơ bản mà bất kỳ học sinh nào cũng phải nắm được để học toán tốt hơn.
Xem các bài viết liên quan:
Thông báo chính thức: Ninh Bình Web (thuộc GiuseArt) không hợp tác với bất kỳ ai để bán giao diện Wordpress và cũng không bán ở bất kỳ kênh nào ngoại trừ Facebook và zalo chính thức.
Chúng tôi chỉ support cho những khách hàng mua source code chính chủ. Tiền nào của nấy, khách hàng cân nhắc không nên ham rẻ để mua phải source code không rõ nguồn gốc và không có support về sau! Xin cám ơn!
