Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Các hằng đẳng thức là các công thức toán học được sử dụng thường xuyên, giúp chúng ta giải bài toán nhanh hơn và chính xác hơn. Trong chương trình toán phổ thông, có 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đóng vai trò cực kỳ quan trọng, được coi là “chìa khóa” để chinh phục đại số và 7 hằng đẳng thức này bao gồm:

• Bình phương của một sự khác biệt
• Bình phương của một tổng
• Sự khác biệt của hình vuông
• Lập phương của một tổng
• Khối lập phương của sự khác biệt
• Tổng của hai khối lập phương
• Sự khác biệt của hai khối lập phương

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết từng danh tính bao gồm các công thức, chứng minh, ví dụ minh họa và bài tập ứng dụng. Thông qua đó, bạn sẽ nắm vững kiến ​​thức và có thể sử dụng thành thạo các danh tính này trong quá trình học tập.

7 danh tính đáng nhớ

Trong danh sách các công thức toán học cần nhớ, 7 bất đẳng thức là một trong những quy tắc mà chúng ta cần phải thuộc lòng. Với những bài toán khó, những bài toán có biểu thức dài và biến thiên, những bất đẳng thức này sẽ giúp chúng ta giải quyết chúng, từ đó giảm bớt độ khó đi một chút và chúng ta có thể giải quyết bài toán dễ dàng hơn. Thông qua nội dung chi tiết của từng bất đẳng thức trong nội dung dưới đây, hãy ghi chép và làm các bài tập ứng dụng đi kèm để có thể nắm vững 7 bất đẳng thức trong tay.

Bình phương của một sự khác biệt Nhận dạng

1. Công thức tính căn bậc hai của một hiệu:

Bình phương của hiệu hai số a và b được viết như sau: (a – b)² = a² – 2ab + b²

2. Cách chứng minh căn bậc hai của một hiệu

Phương pháp 1: Sử dụng khai triển trực tiếp

(a – b)² = (a – b)(a – b)

= a² – ab – ab + b²

= a² – 2ab + b²

Phương pháp 2: Sử dụng hình vuông

Vẽ một hình vuông có độ dài cạnh là (a – b). Chia hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ, 1 hình vuông lớn có độ dài cạnh là a và 3 hình vuông nhỏ có độ dài cạnh là b.

Diện tích hình vuông lớn là: (a – b)²

Diện tích của 4 hình vuông nhỏ là: a² + b² + b² + b²

Do đó: (a – b)² = a² + b² + b² + b² – a²

= a² – 2ab + b²

3. Các bài toán liên quan đến công thức căn bậc hai của một số hữu tỉ

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x – 2)² – (x – 3)²

Phần thưởng:

(x – 2)² – (x – 3)² = (x² – 4x + 4) – (x² – 6x + 9)

= x² – 4x + 4 – x² + 6x – 9

= 2x – 5

Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a – b)² ≥ 0

Phần thưởng:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

= a² – 2ab + b² + 2ab – b²

= (a – b)² + 2ab – b²

Bởi vì (a – b)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a, b.

Do đó, (a – b)² + 2ab – b² ≥ 0

Do đó: (a – b)² ≥ 0

Bài toán 3: Tìm giá trị của x để biểu thức: Q = x² – 8x + 17 có giá trị nhỏ nhất.

Phần thưởng:

Q = x² – 8x + 17

= (x² – 8x + 16) + 1

= (x – 4)² + 1

Bởi vì (x – 4)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.

Do đó, Q = (x – 4)² + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 1.

Dấu “=” xuất hiện khi x = 4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1 khi x = 4.

Bình phương của một tổng đồng nhất

1. Công thức tính căn bậc hai của một tổng:

Bình phương của tổng hai số a và b được viết như sau: (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. Cách chứng minh căn bậc hai của một tổng

Phương pháp 1: Sử dụng khai triển trực tiếp

(a + b)² = (a + b)(a + b)

= a² + ab + ab + b²

= a² + 2ab + b²

Phương pháp 2: Sử dụng hình vuông

Vẽ một hình vuông có cạnh là (a + b). Chia hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ, mỗi hình vuông có cạnh là a và b.

Diện tích hình vuông lớn là: (a + b)²

Diện tích của 4 hình vuông nhỏ là: a² + a² + b² + b²

Do đó: (a + b)² = a² + a² + b² + b² = a² + 2ab + b²

3. Các bài toán liên quan đến công thức căn bậc hai của một tổng

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 3)² – (x – 2)²

Phần thưởng:

(x + 3)² – (x – 2)² = (x² + 6x + 9) – (x² – 4x + 4)

= x² + 6x + 9 – x² + 4x – 4

= 10x + 5

Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a + b)² ≥ 4ab

Phần thưởng:

(a + b)² – 4ab = a² + 2ab + b² – 4ab

= a² – 2ab + b²

= (a – b)² ≥ 0

Bởi vì (a – b)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a, b.

Do đó, (a + b)² – 4ab ≥ 0

Do đó: (a + b)² ≥ 4ab

Bài toán 3: Tìm giá trị của x để biểu thức: P = x² – 4x + 5 có giá trị nhỏ nhất.

Phần thưởng:

P = x² – 4x + 5

= (x² – 4x + 4) + 1

= (x – 2)² + 1

Bởi vì (x – 2)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.

Do đó, P = (x – 2)² + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 1.

Dấu “=” xuất hiện khi x = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi x = 2.

Sự khác biệt của bản sắc hình vuông

1. Công thức tính hiệu hai bình phương:

Hiệu các bình phương của hai số a và b được viết như sau: a² – b² = (a – b)(a + b)

2. Cách chứng minh hiệu hai bình phương phương trình

Cách sử dụng khai triển trực tiếp:

a² – b² = (a + b)(a – b)

= a² + ab – ab – b²

3. Các bài toán liên quan đến công thức tính hiệu hai bình phương

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 5)² – (x – 2)²

Phần thưởng:

(x + 5)² – (x – 2)² = ((x + 5) – (x – 2))((x + 5) + (x – 2))

= (x + 5 – x + 2)(x + 5 + x – 2)

= 7(2x + 3)

= 14x + 21

Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a + b)² – (a – b)² = 4ab

Phần thưởng:

(a + b)² – (a – b)² = ((a + b) – (a – b))((a + b) + (a – b))

= (a² + 2ab + b²) – (a² – 2ab + b²)

= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²

= 4ab

Bài toán 3: Tính 56,64

Giải: Ta có 56,64 = (60 – 4)(60 + 4) = 60² – 4² = 3600 – 16 = 3584

Bài tập 4: Tính (x – 2)(x + 2)

Giải: (x – 2)(x + 2) = x² – 2² = x² – 4

Lập phương bản sắc của một tổng

1. Công thức tính hệ số bậc ba của tổng:

Lập phương của tổng hai số a và b được viết như sau: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

2. Cách chứng minh hệ số bậc ba của một tổng

Cách sử dụng mở rộng trực tiếp

(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b)

= a³ + a²b + a²b + ab² + ab² + b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

3. Các bài toán liên quan đến phương trình bậc ba của một tổng

Bài toán 1:

Tính giá trị của biểu thức: (x – 2)³ + (x + 1)³

Phần thưởng:

(x – 2)³ + (x + 1)³ = (x³ – 6x² + 12x – 8) + (x³ + 3x² + 3x + 1)

= x³ – 6x² + 12x – 8 + x³ + 3x² + 3x + 1

= 2x³ – 3x² + 15x – 7

Bài toán 2: Chứng minh rằng:

(a + b)³ – a³ – b³ = 3a²b + 3ab²

Phần thưởng:

(a + b)³ – a³ – b³ = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – a³ – b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ – b³

= 3a²b + 3ab²

Bài 3: Tìm giá trị của x để biểu thức: P = x³ – 9x² + 27x – 27 có giá trị nhỏ nhất.

Phần thưởng:

P = x³ – 9x² + 27x – 27

= (x³ – 9x² + 27x – 27) + 1

= (x – 3)³ + 1

Bởi vì (x – 3)³ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.

Do đó, P = (x – 3)³ + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 1.

Dấu “=” xuất hiện khi x = 3.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi x = 3.

Khối lập phương nhận dạng một sự khác biệt

1. Phương trình bậc ba của một hiệu số:

Công thức:

Lập phương của hiệu hai số a và b được viết như sau: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

2. Cách chứng minh phương trình bậc ba của một hiệu

Cách sử dụng mở rộng trực tiếp

(a – b)³ = (a – b)(a – b)(a – b)

= a³ – ab – ab + b² – ab – b² – b³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³

3. Các bài toán liên quan đến phương trình bậc ba của một số

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 3)³ – (x – 2)³

Phần thưởng:

(x + 3)³ – (x – 2)³ = (x³ + 9x² + 27x + 27) – (x³ – 6x² + 12x – 8)

= x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ + 6x² – 12x + 8

= 15x² + 15x + 35

Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a – b)³ + a³ – b³ = 3a²b – 3ab²

Phần thưởng:

(a – b)³ + a³ – b³ = (a³ – 3a²b + 3ab² – b³) + a³ – b³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³ + a³ – b³

= 3a²b – 3ab²

Tổng của hai lập phương danh tính

1. Công thức tính tổng của hai lập phương:

Công thức:

Tổng lập phương của hai số a và b được viết như sau: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

2. Cách chứng minh phương trình tổng của hai lập phương

Cách sử dụng mở rộng trực tiếp

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

= a³ + a²b – ab² + ab² + b³

= a³ + b³

3. Các bài toán liên quan đến công thức tính tổng hai lập phương

Bài toán 1:

Tính giá trị của biểu thức: (x – 1)³ + (x + 2)³

Phần thưởng:

(x – 1)³ + (x + 2)³ = (x³ – 3x² + 3x – 1) + (x³ + 6x² + 12x + 8)

= x³ – 3x² + 3x – 1 + x³ + 6x² + 12x + 8

= 2x³ + 3x² + 15x + 7

Bài 2: Chứng minh rằng: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Phần thưởng:

Phương pháp 1:

• Xét a = 0 và b = 0, ta có: 0³ + 0³ = (0 + 0)(0² – 0,0 + 0²)

=> 0 = 0,0² = 0

• Xét a = 1 và b = 1, ta có: 1³ + 1³ = (1 + 1)(1² – 1.1 + 1²)

=> 2 = 2,1² = 2

• Xét a = -1 và b = -1, ta có: (-1)³ + (-1)³ = (-1 + -1)(-1² – (-1).(-1) + (-1)²)

=> -2 = -2,1² = -2

• Xét a = a và b = -a, ta có: a³ + (-a)³ = (a + (-a))(a² – a.(-a) + (-a)²)

=> 0 = 0.a² = 0

Vì các trường hợp trên đều đúng nên ta có thể kết luận rằng:

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Phương pháp 2:

• Ta có: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

=> a³ + b³ = (a – b)³ + 3a²b – 3ab²

= (a – b)(a² – ab + b²) + 3ab(a – b)

= (a – b + 3ab)(a² – ab + b²)

• Xét a + 3ab = 0, ta có: a³ + b³ = (a – b + 3ab)(a² – ab + b²) = 0

=> a³ = -b³

=> a = -b

• Xét a + 3ab ≠ 0, ta có: a³ + b³ ≠ 0

=> a – b ≠ 0

=> a² – ab + b² ≠ 0

=> (a – b + 3ab)(a² – ab + b²) ≠ 0

Vì vậy, chúng ta có thể kết luận rằng:

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Sự khác biệt của hai khối lập phương

1. Công thức tính hiệu của hai lập phương:

Công thức: Hiệu lập phương của hai số a và b được viết như sau: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

2. Cách chứng minh sự khác biệt của hai hình lập phương

Cách sử dụng mở rộng trực tiếp

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

= a³ – ab – ab + b² + ab + b³

= a³ – b³

3. Các bài toán liên quan đến công thức tính hiệu của hai hình lập phương

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 2)³ – (x – 1)³

Phần thưởng:

(x + 2)³ – (x – 1)³ = (x³ + 6x² + 12x + 8) – (x³ – 3x² + 3x – 1)

= x³ + 6x² + 12x + 8 – x³ + 3x² – 3x + 1

= 9x² + 9x + 9

= 9(x² + x + 1)

Bài toán 2: Chứng minh rằng: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Phương pháp 1:

• Xét a = 0 và b = 0, ta có: 0³ – 0³ = (0 – 0)(0² + 0,0 + 0²)

=> 0 = 0,0² = 0

• Xét a = 1 và b = 1, ta có: 1³ – 1³ = (1 – 1)(1² + 1.1 + 1²)

=> 0 = 0,1² = 0

• Xét a = -1 và b = -1, ta có: (-1)³ – (-1)³ = (-1 – (-1))(-1² – (-1).(-1) + (-1)²)

=> 0 = 0,1² = 0

• Xét a = a và b = -a, ta có: a³ – (-a)³ = (a – (-a))(a² – a.(-a) + (-a)²)

=> 2a³ = 2a.a² = 2a³

=> 0 = 0

Vì các trường hợp trên đều đúng nên ta có thể kết luận rằng:

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Phương pháp 2:

• Ta có: (a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b²

= a² – b²

(a + (-a))(a – (-a)) = a² – (-a)²

= a² – a²

= 0

• Vì (a + b)(a – b) = a³ – b³, ta có:

a³ – b³ = 0

=> a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Ứng dụng của 7 danh tính đáng nhớ

Với các danh tính đáng nhớ này, chúng ta có thể vận dụng khi giải một số dạng bài tập toán như sau:

• Áp dụng trực tiếp bằng các đẳng thức để thực hiện các phép tính và tính giá trị của các biểu thức số.
• Áp dụng các phép tính để rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức.
• Áp dụng các tính chất này để giải các bài toán tìm giá trị biến và xác định hệ số của đa thức.
• Áp dụng để tính giá trị biểu thức có biến điều kiện.
• Chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số.
• Áp dụng công thức đồng nhất để giải một số bài toán số học và tổ hợp.

Phần kết luận

Đẳng thức là công cụ quan trọng giúp chúng ta giải toán nhanh và chính xác. Việc nắm vững và sử dụng đẳng thức sẽ giúp bạn học tập hiệu quả hơn khi các bài toán sẽ được “đánh bật” một cách trôi chảy. Qua nội dung tóm tắt trên của tuyengiaothudo.vn, hy vọng bạn đọc đã có thời gian ghi nhớ và sử dụng thành thạo các quy tắc tính toán này. Đây được coi là một phần kiến ​​thức cơ bản cần nắm vững, vì vậy hãy cố gắng nhớ hết nhé!

XEM THÊM: