Máy móc học công thức trong sách giáo khoa, suốt 4.000 năm chúng ta đã bỏ quên một cách giải phương trình bậc hai cực dễ và sáng tạo

Ba ngàn năm trước Công nguyên, một viên chức ở Babylon cổ đại đã đến gặp những người nông dân và nói với họ rằng thuế lúa mì cho mùa đó sẽ tăng. Đương nhiên, những người nông dân sẽ phải tăng diện tích cánh đồng của họ để có thể trả thêm thuế.

Khi một trong hai người muốn kéo dài cả chiều dài và chiều rộng của cánh đồng thêm cùng một khoảng cách x, người nông dân đã tìm ra một phương trình có dạng: Ax2 + Bx + C = 0. Có lẽ đây là lần đầu tiên con người phải đối mặt với phương trình bậc hai.

Trong suốt chiều dài lịch sử, các bài toán đòi hỏi con người phải giải phương trình bậc hai đã xuất hiện ở mọi nền văn minh, từ Babylon đến Ai Cập đến Ấn Độ đến Trung Quốc. Trong quá khứ, phương trình bậc hai được sử dụng để tính toán các khu vực rộng lớn là biểu tượng của nền văn minh, từ các bậc thang của kim tự tháp đến mái của đền thờ và lăng mộ.

Nhờ các ứng dụng của nó từ cơ bản đến tuyệt vời, phương trình bậc hai hiện đã được đưa vào mọi chương trình toán trung học trên thế giới. Thật không may, cách giảng dạy khá máy móc. Tất cả sách giáo khoa toán trung học đều yêu cầu học sinh ghi nhớ công thức để tính nghiệm của phương trình bậc hai tổng quát:

Điều này thực sự khó nhớ và không trực quan chút nào. Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm gần như là một bài tập về trí nhớ, hơn là thực hành lý luận. Nếu bạn có thể nhớ công thức nghiệm, về cơ bản bạn có thể giải bất kỳ phương trình bậc hai nào. Nhưng toán học mà không có lý luận thì nhàm chán và vô nghĩa.

Đó là lý do tại sao Po-Shen Loh, một nhà toán học tại Đại học Carnegie Mellon và là huấn luyện viên của đội tuyển toán Olympic Hoa Kỳ, muốn tìm ra một giải pháp đơn giản hơn, trực quan hơn và suy diễn hơn cho phương trình bậc hai. Và ông đã thành công.

Po-Shen Loh, huấn luyện viên đội tuyển toán Olympic Hoa Kỳ

Năm 2019, Po-Shen Loh đã xuất bản một bài báo khoa học chia sẻ phương pháp mới của mình để giải phương trình bậc hai. Nó hoàn toàn vượt ra ngoài những hạn chế của việc áp dụng công thức nghiệm, không yêu cầu học sinh phải ghi nhớ công thức một cách máy móc, nhưng vẫn có thể giải được tất cả các phương trình bậc hai, ngay cả với các nghiệm phức tạp.

Hãy cùng tìm hiểu xem Po-Shen Loh đã sử dụng nó như thế nào:

Đầu tiên. Giả sử chúng ta có phương trình bậc hai sau: x2 + Bx + C = 0

2. Chỉ cần quan sát một chút hoặc nhớ lại định lý Viete, ta có thể thấy rằng mọi đa thức vế trái đều có thể phân tích thành dạng:

Nếu vế trái bằng 0 thì phương trình này sẽ có nghiệm. x = R hoặc x = S. Về cơ bản, đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho.

Bây giờ, khi chúng ta nhân vế phải để phá vỡ dấu ngoặc đơn, chúng ta sẽ có:

Phương trình này tương đương với -B = R+S Và C = RS. Không có gì đặc biệt, nó chỉ tương tự như những gì nhà toán học người Pháp Viete đã suy ra vào thế kỷ 16. Nhưng bước tiếp theo là sự đổi mới của Po-Shen Loh, khi ông sử dụng cùng phương pháp mà các nhà toán học Babylon cổ đại đã sử dụng để giải phương trình sâu hơn.

3. Po-Shen Loh nhận thấy rằng nếu -B là tổng của R Và Ssau đó trung bình của R Và S sẽ -B/2Tôi gọi z là giá trị tuyệt đối của sự khác biệt giữa R Và S với mức trung bình. Sau đó, chúng ta có thể biểu thị R Và S dựa theo -B/2 và chỉ còn lại một z là số lượng chưa biết:

Sau đó, chúng ta chỉ cần chuyển vị các cạnh và lấy căn bậc hai để tìm ra z:

4. Cài đặt z trở lại R Và S, Ta sẽ có 2 nghiệm của phương trình ban đầu:

TADA! Có vẻ hơi phức tạp. Nhưng hãy áp dụng nó vào phương trình bậc hai để xem nó đơn giản như thế nào. Chúng ta có thể sử dụng đồ thị để hình dung phương pháp của Po-Shen Loh:

Giả sử chúng ta có một hàm y = x2 – 4x -5. Hàm này được biểu diễn dưới dạng parabol trên đồ thị bên phải. Tại hai giao điểm của parabol với trục x, chúng ta có x2 – 4x -5 =0là một phương trình bậc hai. Trục hoành của hai giao điểm là nghiệm của phương trình này: R Và S.

Theo định lý Viete, R+S = 4Trung bình R Và S Được 2.

z là một nửa khoảng cách giữa R Và Slà số lượng chưa biết sau đó R = 2-z Và S = 2+z.

Tiếp tục áp dụng định lý Viete, ta có RS = -5. Nghĩa là (2-z). (2+z)= -5.

Bằng cách phá vỡ dấu ngoặc đơn, chúng ta có được 4-z2=-5

Tương đương với z2=9, z=3.

Vì vậy, giải pháp của phương trình đầu tiên là R = 2-3 = -1 Và S = 2+3= 5.

Tiếp tục thử nghiệm giải pháp của Po-Shen Loh với một phương trình bậc hai khác có nghiệm phức, ta thấy rằng nó vẫn đúng. Giả sử phương trình bây giờ là: x2 -2x +4 = 0.

Khi đã quen với phương pháp của Po-Shen Loh, chúng ta có thể nhanh chóng tính toán rằng phương trình này sẽ có hai nghiệm: -B/2 ± z. Đây, B =-2 vậy chúng ta có 2 giải pháp 1 ± z. Bởi vì tích của hai nghiệm phải bằng C = 4chúng ta có:

Vậy cuối cùng hai nghiệm của phương trình ban đầu là:

Cùng một phương trình, nếu giải bằng công thức nghiệm, sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều. Do đó, phương pháp của Po-Shen Loh đơn giản, suy diễn và trực quan. Nó cũng có thể áp dụng cho bất kỳ phương trình bậc hai nào bạn gặp phải.

Nếu phương trình có dạng Ax2 + Bx + C = 0bạn chỉ cần chia tất cả các hệ số cho MỘT để có được phương trình mới có dạng x2 + (B/A) x + C/A = 0 và sử dụng dung dịch Po-Shen Loh như bình thường.

Một cách tiếp cận sáng tạo hơn để giải phương trình bậc hai

Vào năm 2019, ngay khi bài báo khoa học của Po-Shen Loh được công bố trên arXiv.org, một loạt giáo viên toán đã ngạc nhiên trước lời giải này. Điều thú vị là khi lời giải của Po-Shen Loh được giới thiệu với học sinh, tất cả đều có thể dễ dàng áp dụng nó với sự hứng thú hơn nhiều so với công thức giải.

Câu hỏi đặt ra là tại sao trước đây không ai tình cờ phát hiện ra phương pháp này và chia sẻ rộng rãi? Trên thực tế, Po-Shen Loh thừa nhận rằng giải pháp của ông chỉ đơn giản là sự kết hợp giữa định lý Viete và phương pháp Babylon có từ hàng ngàn năm trước.

Tuy nhiên, ông cho biết cho đến nay vẫn chưa có ai kết hợp hai cách giải này lại với nhau để dạy cho học sinh một cách tư duy đơn giản nhưng cực kỳ logic khi tìm lời giải phương trình bậc hai.

Trong bài viết, Po-Shen Loh cho biết ông đã tìm thấy tất cả các tài liệu ghi lại phương pháp giải phương trình bậc hai của người Babylon, Trung Quốc, Hy Lạp, Ấn Độ và Ả Rập cổ đại cũng như các nhà toán học hiện đại từ thời Phục hưng cho đến ngày nay.

Kết quả cho thấy không ai trong số họ từng giải phương trình bậc hai theo cách của ông, mặc dù định lý Viete và các khai triển Babylon của nó đã tồn tại hàng trăm, nếu không muốn nói là hàng nghìn năm. Vậy tại sao phương pháp này mới được phát hiện ra bây giờ?

Po-Shen Loh cho rằng có thể là do cách tiếp cận của chúng ta đối với phương trình bậc hai. Các giải pháp hiện đại, thường sử dụng công thức nghiệm, có thể chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm hay không. Điều này để lại tính chất nghiệm sang một bên, và chúng ta hiếm khi nhận thấy rằng tổng của hai nghiệm của một phương trình bậc hai, nếu có, bằng -B và tích của chúng chính xác là hệ số C.

Ngoài ra, phương trình bậc hai hiện chỉ liên quan đến các bài tập trong sách giáo khoa. Học sinh sẽ được dạy đi dạy lại các công thức và cách áp dụng chúng một cách máy móc.

Không giống như trước đây, người Babylon sử dụng phương trình bậc hai trong các bài toán thực tế mà họ gặp phải trong cuộc sống. Giải phương trình lúc đó là tìm ra câu trả lời hoặc giải pháp cho vấn đề mà họ đang gặp phải.

Do đó, việc tìm ra các giải pháp mới được nhấn mạnh và để làm được điều đó, tổ tiên chúng ta trong quá khứ đã có những phương pháp sáng tạo hơn.

Po-Shen Loh cho rằng toán học có thể hấp dẫn học sinh hơn nếu nó trực quan và đơn giản.

Bây giờ, sau khi khám phá ra một cách mới để giải phương trình bậc hai, Po-Shen Loh đã đưa nó vào chương trình giảng dạy của mình. Ông vẫn là một nhà nghiên cứu toán học và là huấn luyện viên cho đội tuyển Olympic Toán Hoa Kỳ.

Nhưng có lẽ điều tuyệt vời nhất đối với Po-Shen Loh là sự đón nhận nồng nhiệt của học sinh đối với phương pháp mới này. Nhiều học sinh cho biết phương pháp này rất hữu ích. Với phương pháp này, các em có thể hình dung các phương trình bậc hai theo cách trực quan hơn, không còn chỉ là những con số và công thức khô khan nữa.

Po-Shen Loh cho biết cách tiếp cận này cũng nhấn mạnh một triết lý trong cách tiếp cận giảng dạy của ông. “Tôi nghĩ nếu tôi hoặc ai đó có thể làm cho toán học trở nên sống động trở lại, để mọi người, bất kể tuổi tác, đều có thể hiểu và tiếp thu nó, thì lợi ích từ việc làm này sẽ rất lớn.”

Khi học sinh thấy toán học thú vị và hiểu được nó, các em sẽ không còn sợ hãi hay e ngại môn toán nữa. Những em trước đây nghĩ rằng mình kém môn toán hoặc cho rằng đó không phải là môn của mình cũng sẽ tự tin hơn khi đối mặt với môn học này.

Sau cùng, toán học vẫn rất sống động và thú vị sau hàng ngàn năm. Chỉ là cách chúng ta dạy và học toán đã biến nó thành một môn học khô khan và căng thẳng.

Tài liệu tham khảo MIT, Nytimes