Lý thuyết về căn bậc 2, cách tính căn bậc 2

Căn bậc hai là một lý thuyết quan trọng mà các em học sinh sẽ gặp phải trong những năm cuối cấp 2. Nếu không nắm vững cách tính căn bậc hai, các em sẽ không thể giải được những bài toán khó hơn liên quan đến kiến ​​thức này. Vậy căn bậc hai là gì? Công thức tính căn bậc hai là gì? Hãy cùng tuyengiaothudo.vn tìm hiểu qua bài viết chia sẻ dưới đây nhé!

Lý thuyết

Trước khi tìm hiểu cách tính căn bậc hai, chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm của lý thuyết này.

Căn bậc hai của 2

Sau đây là một số lý thuyết về căn bậc hai:

Ý tưởng

Căn bậc hai của một số a (a là số không âm) là x. Trong đó, x phải thỏa mãn điều kiện x² = a.

Theo nghĩa mở rộng, nếu A là bất kỳ biểu thức đại số nào, thì căn bậc hai của A (√A) là căn bậc hai của biểu thức đó và A được hiểu là biểu thức dưới căn (hoặc biểu thức căn). Tương tự, A chỉ có nghĩa khi nó là một biểu thức không âm.

Căn bậc hai là kiến ​​thức toán học quen thuộc trong chương trình lớp 9.

Với a > = 0, ta có:

• Nếu: x = √a ⇔ x > 0 và x² = a
• Nếu: x > = 0 và x² = a ⇔ x = √a

Vậy, ta có cách tính căn bậc hai: x = √a ⇔ x > = 0 và x² = a.

So sánh căn bậc hai

Trong trường hợp bạn có 2 số a và b đều là số không âm và a < b thì: √a < √b

Lưu ý, với A là một biểu thức ⇔ √(A²) = |A|:

• √(A²) = A nếu A ≥ 0
• √(A²) = – A với A < 0

Sau đây là một số phép biến đổi bạn cần ghi nhớ để giải các bài toán chứa biểu thức liên quan đến căn bậc hai:

• √A = B ⇔ B ≥ 0 và A = B²
• √(A²) = B ⇔ |A| = B
• √(A²) = √(B²) ⇔ |A| = |B| ⇔ A = B hoặc – B
• √(A) = √(B) ⇔ A ≥ 0 (B ≥ 0) và A = B.

Tính chất căn bậc hai

Bạn cần lưu ý một số tính chất quan trọng để áp dụng phương pháp tính căn bậc hai như:

• Không có căn bậc hai của số âm, nghĩa là chỉ có căn bậc hai của số không âm, số âm không có căn bậc hai.
• Căn bậc hai của 0 chính là: √0 = 0.
• Mọi số thực không âm (≥0) đều có đúng một căn bậc hai không âm.
• Một số dương sẽ bao gồm 2 và chỉ 2 căn bậc hai bao gồm các số trái dấu (đối lập), số dương là √a (căn bậc hai dương) và số âm là -√a (căn bậc hai âm).
• Căn bậc hai cũng có thể được biểu thị dưới dạng lũy ​​thừa: a^(½) đối với số dương.

Căn bậc hai của số học

Sau đây là một số lý thuyết liên quan đến căn bậc hai của các số:

Ý tưởng

Đối với bất kỳ số dương nào (gọi là a), căn bậc hai số học của a sẽ được biểu thị là √a. Trong toán học, có một trường hợp đặc biệt khi số 0 là căn bậc hai số học của chính nó.

Đối với bất kỳ số dương nào, căn bậc hai số học của a sẽ được biểu thị dưới dạng √

Đối với a ≥ 0:

• x = √a ⇔ x ≥ 0 và x² = a.
• x ≥ 0 và x² = a ⇔ x = √a

Khi so sánh, ta có: a và b là 2 số không âm: a > b ⇔ √a > √b

Ví dụ về cách tính căn bậc hai của một số:

• Căn bậc hai số học của 25 là √25 = √5² = 5
• Tìm căn bậc hai của 25, 64, 100, 121 và 10000: √25 = 5, √64 = 8, √100 = 10, √121 = 11, √10000 = 100.

Căn bậc hai của một số nguyên dương

Một số nguyên dương có hai căn bậc hai ngược nhau (các số có dấu trái dấu, ví dụ √a và -√a). Tuy nhiên, khi nhắc đến căn bậc hai của một số nguyên dương, chúng ta thường hiểu đó là căn bậc hai dương.

Căn bậc hai của một số nguyên dương sẽ bằng căn bậc hai của tích các ước nguyên tố của nó: √(axb) = √ax √b (ví dụ: √12 = √(6 x 2) = √6 x √2

Bảng dưới đây là căn bậc hai của các số tự nhiên từ 0 – 10:

Căn bậc hai của số phức, số âm

Bất kỳ số nào (dù là số âm hay số dương) khi bình phương sẽ cho ra số dương, chỉ có 0 bình phương vẫn là 0 và trên thực tế không có số âm nào có căn bậc hai, nó chỉ tồn tại trong tập hợp số phức.

Căn bậc hai

Để áp dụng phép tính căn bậc hai, bạn cần hiểu căn bậc hai. Căn bậc hai được hiểu là một dạng toán để tìm căn bậc hai số học của một số lớn hơn 0 (≥0 hoặc số không âm).

Căn bậc hai được sử dụng rộng rãi trong các bài toán về căn bậc hai.

Ví dụ: Với a ≥ 0 và (a)² = 25, ta có thể tính a = ±√25

Một số lưu ý cần nhớ khi áp dụng phương pháp tính căn bậc hai

Một số dạng bài toán lớp 9 yêu cầu áp dụng phương pháp tính căn bậc hai.

Dưới đây là một số dạng bài toán liên quan đến căn bậc hai mà học sinh sẽ gặp phải trong chương trình toán Đại số lớp 9. Thông thường, các giải pháp sẽ chỉ xoay quanh lý thuyết, tính chất của căn bậc hai và một số hằng đẳng thức liên quan. Do đó, điều quan trọng nhất là bạn phải nắm vững kiến ​​thức cơ bản để có thể giải các bài toán nâng cao hơn:

Dạng 1: Tìm và so sánh 2 căn bậc hai

Trong loại bài toán này, câu hỏi thường yêu cầu bạn tìm một trong hai số hoặc so sánh vế nào của biểu thức lớn hơn. Để làm được điều này, bạn chỉ cần nắm vững biểu thức sau:

a > b ⇔ √a > √b

Trong đó a và b đều là những số lớn hơn hoặc bằng 0 (hai số không âm).

Dạng 2: Tìm giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai

Trong dạng này, bạn cần áp dụng phép tính căn bậc hai với đẳng thức cơ bản sau:

Chúng ta có:

• Nếu A≥ 0 => √A² = |A| = A
• Nếu một < 0 => √A² = |A| = – A

Dạng 3: Rút gọn biểu thức

Dạng này sẽ yêu cầu bạn rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Đây là dạng toán tương đối khó trong chương trình toán lớp 9 và bạn cần áp dụng một số phép tính liên quan để giải bài toán như sau:

• a² + 2ab + b² = (a + b)²
• a² – 2ab + b² = (a – b)²
• Nếu A ≥ 0 => √A² = |A| = A hoặc A < 0 => √A² = |A| = – A

Dạng 4: Tìm điều kiện thỏa mãn phần biểu thức chứa căn bậc hai.

Kiểu bài toán này yêu cầu người giải phải tìm điều kiện để biểu thức dưới căn bậc hai có nghĩa. Nếu biểu thức dưới căn bậc hai có nghĩa, nó phải có giá trị không âm. Khi đó ta có: √A chỉ có nghĩa khi A ≥ 0.

Lớp 5: Giải phương trình (biểu thức) có căn bậc hai

Biểu mẫu này sẽ yêu cầu bạn giải các phương trình có chứa căn bậc hai. Tại thời điểm này, bạn sẽ nắm vững và có thể áp dụng các kiến ​​thức cơ bản sau:

• √A = B ⇔ B ≥ 0 và A = B².
• √A² = B ⇔ |A| = B.
• √A = √B ⇔ A ≥ 0 (B ≥ 0) và A = B.
• √A² = √B² ⇔ |A| = |B| ⇔ A = ± B.

Mẹo đơn giản để tìm căn bậc hai, không cần máy tính

Ngoài các lý thuyết và cách tính căn bậc hai với một số dạng quen thuộc ở trên, bạn cũng có thể áp dụng các mẹo sau để tìm căn bậc hai mà không cần máy tính. Đây là cách khá hiệu quả để rèn luyện tư duy, giúp bạn phản ứng nhanh hơn với các con số và thực hiện các phép tính theo cách đơn giản và dễ dàng nhất.

Mẹo tính căn bậc hai của một số nguyên

Tính căn bậc hai của một số nguyên thường đơn giản và dễ thực hiện hơn nhiều so với một số không phải số nguyên. Để tìm căn bậc hai của một số nguyên mà không cần máy tính, bạn có thể áp dụng một trong hai phương pháp sau:

Cách tính căn bậc hai bằng phép nhân

Căn bậc hai của a là số b, khi nhân với chính nó (tức là bxb), bằng số gốc a. Ví dụ: √25 = √(5 x 5) = 5. Bây giờ, bạn có thể tự hỏi liệu có số nào mà bạn có thể nhân với chính nó để có được số bạn có không.

Ví dụ: Căn bậc hai của 1 = 1 (vì 1 x 1 = 1), nhưng căn bậc hai của 25 là 5 (vì 5 x 5 = 25). Tương tự, căn bậc hai của 4 là 2, của 9 là 3, của 16 là 4, của 36 là 6, của 49 là 7, v.v.

Bạn vẫn có thể tìm căn bậc hai của một số nguyên mà không cần máy tính.

Cách tính căn bậc hai bằng phép chia

Tương tự, bạn cũng có thể sử dụng phép chia để tìm căn bậc hai bằng cách chia số nguyên đã cho cho các số khác từng số một cho đến khi bạn nhận được kết quả bằng số chia. Ví dụ, 16/4 = 4, 25/5 = 5, 4/2 = 2…

Mẹo tìm căn bậc hai của các số khác

Bạn sẽ không luôn nhận được một số nguyên làm câu hỏi. Nếu đó không phải là số nguyên thì sao? Các bước phức tạp hơn một chút, nhưng bạn vẫn có thể thực hiện bằng cách:

Tính căn bậc hai của một số không nguyên phức tạp hơn một chút.

Cách tính căn bậc hai bằng phương pháp loại trừ

Bạn có thể hình dung điều này thông qua ví dụ sau:

Bạn cần tìm căn bậc hai của 20. Trong trường hợp này, căn bậc hai của 20 có giá trị nằm giữa căn bậc hai của 25 và 16, tương ứng là 5 và 4. Vì vậy, căn bậc hai của 20 có thể là 4,5. Bây giờ, bạn lấy 4,5 x 4,5, câu trả lời sẽ lớn hơn 20, vì vậy bạn có thể giảm xuống còn 4,4. Trong trường hợp kết quả nhỏ hơn, bạn cũng có thể tăng nó lên một chút.

4,4 x 4,4 sẽ bằng 19,36, tại thời điểm này phạm vi sẽ được thu hẹp lại trong khoảng từ 4,5 – 4,4. Khi bạn ước tính khoảng 4,445, hãy nhân chúng lại với nhau để có được câu trả lời gần bằng 20. Tiếp tục cho đến khi bạn có được số gần nhất với 20, tức là 4,475 (20,03), đây là kết quả gần đúng sau khi làm tròn.

Cách tính căn bậc hai bằng phương pháp trung bình

Để tính căn bậc hai bằng phương pháp trung bình, bạn cần chọn 2 số chính phương gần nhất với số đã cho, sau đó lấy số đã cho (gọi là x) và chia cho căn bậc hai của số chính phương đã chọn (gọi là y). Lúc này, bạn sẽ nhận được số z, tính trung bình cộng của y và z để nhận được số n, sau đó lặp lại quá trình trên cho đến khi tìm được số (gọi là h) mà khi ta lấy hxh sẽ cho ra số gần với x.

Điều này khá phức tạp, nhưng bạn có thể hình dung rõ hơn bằng ví dụ sau:

Ví dụ, để tìm căn bậc hai của số 10, chúng ta thực hiện phép tính sau:

• Chọn số chính phương gần nhất với 10, đó là 9.
• Chúng ta sẽ chia 10 cho căn bậc hai của 9 và thu được kết quả là 3,33.
• Tiếp tục tìm giá trị trung bình giữa 3 và 3,33, ta được 3,1667.
• Lặp lại quá trình trên bằng cách chia 10 cho 3,1667 và tìm giá trị trung bình.
• Bây giờ, bạn kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy 3,1667 x 3,1667 để được 10,001 => đây là kết quả cuối cùng.

Lời kết

Đó là lý thuyết và cách tính căn bậc hai mà bạn có thể tham khảo. Trong chương trình toán THCS, đây là dạng bài tập khá khó và có nhiều bài toán nâng cao. Vậy nên, hãy nắm vững kiến ​​thức cơ bản để dễ dàng chinh phục nội dung kiến ​​thức này nhé!

Xem thêm: