Thể tích của xi lanh là một trong những nội dung hình học không gian thú vị, ứng dụng trong cuộc sống hằng ngày. Vậy công thức tính thể tích hình trụ là gì? Hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây của tuyengiaothudo.vn để biết thêm thông tin chi tiết nhé!
Hình trụ là gì?
Hình trụ, còn được gọi là hình trụ, là một không gian hình học được giới hạn bởi một đường tròn có đường kính bằng nhau và một mặt trụ. Theo định nghĩa trong sách Toán Hình học lớp 9, hình trụ được định nghĩa như sau:
“Hình trụ là hình được giới hạn bởi một mặt trụ và hai đường tròn bằng nhau, và bởi giao điểm của mặt trụ và hai mặt phẳng vuông góc với trục.”
“Hình trụ là đường tròn xoay được tạo bởi bốn cạnh của một hình chữ nhật khi quay quanh đường trung tuyến của hình chữ nhật đó.”
Dựa vào định nghĩa trên để xác định hình trụ và tính toán thể tích của xi lanh rất đơn giản dựa trên các đặc tính sau:
- Hình có hai đáy tròn có đường kính bằng nhau là hình trụ.
- Một hình trụ có hai đường tròn song song và có độ dài bằng nhau.
- Trục tọa độ của hình trụ là đường thẳng nối hai tâm của mặt đế chính.
- Đường sinh của một hình trụ là một đường thẳng có cùng độ dài và song song với trục tọa độ.
Một số công thức tính hình trụ cơ bản
Hình trụ sở hữu nhiều đặc điểm nổi trội như khả năng chịu tải và lưu trữ không gian tốt hơn so với các hình dạng khác. Do đó, trong cuộc sống chúng ta bắt gặp rất nhiều vật thể hình trụ như bình đựng nước, cột trụ, ống khói, đường ống, v.v. Với hình học không gian này, con người có thể tính được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ, thể tích của hình trụ. Dưới đây chúng tôi sẽ tóm tắt các công thức về hình trụ để bạn hiểu rõ:
Tính diện tích bên
Công thức đầu tiên liên quan đến hình trụ là cách tính diện tích xung quanh, tức là diện tích của bề mặt xung quanh, không bao gồm đáy. Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là lấy chu vi đáy nhân với chiều cao:
Sxq = 2.Π.RH
Trong đó:
- Sxq: Viết tắt của cụm từ diện tích xung quanh của hình trụ.
- 2πr: Chu vi đáy hình trụ (π = 3,14).
- h: Chiều cao của hình trụ cần tính toán.
Tính tổng diện tích
Trước khi học cách tính toán thể tích của xi lanhchúng ta học cách tính diện tích toàn phần. Diện tích toàn phần là diện tích xung quanh và diện tích đáy. Cách tính diện tích toàn phần của hình trụ là lấy diện tích xung quanh cộng với diện tích hai đáy.
STP = 2.Π.R² + 2πrh
Trong đó:
- STP: Viết tắt của cụm từ tổng diện tích bề mặt của một hình trụ.
- 2.Π.R²: Diện tích hình tròn đáy (π = 3,14).
- 2πrh: Diện tích mặt đáy của hình trụ.
Thể tích của xi lanh
Tính thể tích của một hình trụ để biết nó có thể chứa được bao nhiêu không gian lưu trữ. Tính thể tích của một hình trụ rất đơn giản, bạn chỉ cần nhân diện tích đáy với chiều cao.
V = Π.R².H
Trong đó:
- V: Thể tích của hình trụ cần tính.
- πr²: Diện tích đáy hình trụ.
- h: Chiều cao của hình trụ.
Dựa vào công thức trên, ta thấy thể tích của hình trụ phụ thuộc vào chiều cao, nửa hình tròn đáy và số pi. Bạn cần áp dụng đúng công thức để tính thể tích chính xác nhất.
Một số bài tập về thể tích hình trụ
Theo công thức tính thể tích hình trụ, có ba đại lượng bao gồm chiều cao, bán kính đáy và thể tích. Thể tích hình trụ hơi khó hiểu hơn một chút, vì vậy chúng ta sẽ lấy một bài tập minh họa cụ thể để bạn tham khảo:
Bài học 1
Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a, góc BDC = 30 độ. Quay hình chữ nhật này quanh cạnh AD để tạo thành một hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó?
Đối với các bài tập hình học không gian, bạn cần vẽ các hình dạng dựa trên dữ liệu của bài toán. Đầu tiên, vẽ một hình chữ nhật rồi xoay hình chữ nhật quanh cạnh AD để tạo thành một hình trụ như trên.
Theo đó, ta có nửa đường tròn đáy được tính theo AB = a
Chiều cao của hình trụ là BC = CD.tan30 độ = a.1/√3 = a/√3
Từ đây, ta có thể suy ra diện tích xung quanh của hình trụ sẽ bằng Sxq = 2rh = 2.3,14.a = a/√3= (2.3,14.a.2)/√3
Bài 2
Cho một tứ diện đều ABCD có cạnh a, xét một hình trụ có đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC, chiều cao bằng chiều cao của tứ diện. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó?
Vì vậy, bài toán này đòi hỏi phải tính diện tích bên thay vì thể tích của lăng trụ, thể tích của hình trụ. Trước tiên, ta cần gọi O là tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC là M. Do đó, O sẽ là trọng tâm của đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp tam giác ABC vì đây là tam giác đều.
Ta có cạnh AM = AM.sinC = a.sin60 độ = a√3/2
AO = 2/3 giờ sáng
= 2/3 xa√3/2 = a√3/3
Tiếp theo, chúng ta sẽ tính chiều cao của tứ diện:
h = DO = √(DA2 – OA2)
= √(a2 – (a√3/3)2 = a√6/3
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC được tính như sau:
r = OM = AM/3 = a√3/6
Sau khi tính được chiều cao và bán kính hình tròn, ta sẽ tính được diện tích xung quanh của hình trụ:
Sxq = 2,3,14rh
= 2,3,14.a√3/6.a√6/3
= 3,14xa2√2/3
bài học 3
Cho một hình trụ có hai đáy tròn tâm (O) và (O’), trên đường tròn lấy các điểm A, B sao cho góc giữa AB và đường tròn đáy bằng 45 độ và khoảng cách từ OO’ là a√2/2. Tính thể tích của xi lanh theo bán kính đáy a.
Đầu tiên, ta đặt OO’ = h rồi gọi các điểm I, E, D là trung điểm của các cạnh BC, BA, OO’.
Dựa vào đó, ta có d(AB,OO’) = ED = IO’ = a√2/2
Vì ABC là tam giác vuông tại C nên góc B bằng 45 độ -> ABC là tam giác vuông cân. Do đó, cạnh BC = AC = h.
Chúng ta có:
CO2 = CI2 + IO2
a2= (h/2)2 + (a√2/2)2
h=a√2
Dựa vào dữ liệu trên, thể tích của hình trụ là V = πa2.a √2 = πa3√2
Các câu hỏi thường gặp
Bây giờ, chắc hẳn mọi người đều đã biết cách tính toán. thể tích của xi lanh cũng như diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình học này. Về cơ bản, việc tính thể tích của một hình trụ rất đơn giản, bạn cần biết công thức để giải các bài tập liên quan. Dưới đây, chúng tôi sẽ giải đáp các câu hỏi thường gặp về hình trụ để bạn tham khảo!
Thể tích của hình trụ được áp dụng như thế nào trong thực tế?
Trên thực tế, hình trụ được sử dụng rộng rãi trong xây dựng, sản xuất, giáo dục, v.v. Do đó, việc biết cách tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ là vô cùng cần thiết. Cụ thể:
- Trong xây dựng, cần phải tính toán thể tích của hình trụ để xác định lượng bê tông, xi măng, vật liệu thép cần lấp đầy không gian bên trong.
- Trong công nghiệp, việc tính toán thể tích của một xi lanh giúp bạn biết được xi lanh có thể chứa bao nhiêu chất lỏng, rắn hoặc khí.
- Trong sản xuất, khi thiết kế các chi tiết hình trụ, cần phải tính toán thể tích để xác định sức chứa cũng như khối lượng của nó.
- Trong giáo dục, hình trụ là một trong những nội dung quan trọng của hình học không gian. Học sinh lớp 9 sẽ được tiếp xúc với dạng bài tập này và sau đó phát triển nó ở các lớp tiếp theo.
Có thể tính được thể tích của một hình trụ có đáy không phải hình tròn không?
Trong một số trường hợp, hình trụ có đáy không tròn, bạn vẫn có thể tính được thể tích của nó. Bạn cần tìm diện tích đáy, chiều cao của hình trụ và sau đó tính toán thể tích của lăng trụ, thể tích của hình trụ như thường lệ.
Diện tích đáy của hình trụ sẽ tương ứng với diện tích của hình tương ứng. Ví dụ, nếu đáy của hình trụ là hình vuông, chúng ta tính diện tích hình vuông bằng bình phương của cạnh đáy.
Chiều cao của hình trụ bằng khoảng cách từ đáy đến đỉnh của hình trụ. Cuối cùng, chúng ta sẽ tính thể tích của hình trụ bằng cách nhân diện tích đáy với chiều cao. Lưu ý, nếu đáy của hình trụ không phải là hình tròn, hãy lấy diện tích đáy tương ứng.
Có thể tính thể tích của hình trụ bằng phương pháp khác không?
Ngoài công thức tính thể tích hình trụ ở trên, bạn có thể tính thể tích hình trụ bằng cách sử dụng các đường cong, công thức tiếp tuyến, phương pháp cắt, v.v. Tuy nhiên, các phương pháp tính thể tích hình trụ khác sẽ phức tạp hơn. Một số phương pháp khác để tính thể tích hình trụ là:
Nếu hình trụ mà bạn đang tìm thể tích có hình dạng đặc biệt như hình xoắn ốc, bạn có thể sử dụng tích phân để tìm thể tích. Theo đó, tích phân của hình xoắn ốc là thể tích của hình trụ mà bạn đang tìm.
Nếu bạn biết biểu thức đường cong của hình trụ, bạn có thể chọn công thức tan để tính thể tích.
Đối với các hình trụ có các cạnh không đều, bạn có thể cắt và chia chúng thành các hình dạng đơn giản như hình tròn, hình tam giác, hình chữ nhật, v.v. Tiếp theo, tính thể tích của từng hình và cộng chúng lại với nhau để tìm ra thể tích. thể tích của xi lanh ban đầu.
Lưu ý, tùy theo đặc điểm và hình dạng của hình trụ mà sử dụng phương pháp tính thể tích phù hợp. Thông thường, trong các bài tập trên lớp, giáo viên sẽ đưa ra phương pháp tính thể tích cho hình trụ bằng cách lấy chiều cao nhân với bình phương bán kính đáy và số pi.
Việc đặt trọng tâm ở vị trí khác có làm thay đổi thể tích của hình trụ không?
Khi trọng tâm của hình trụ được đặt ở vị trí khác thì thể tích của nó vẫn không đổi. Bởi vì thể tích của xi lanh chỉ phụ thuộc vào bán kính đáy và chiều cao, do đó việc thay đổi vị trí trọng tâm không có tác dụng. Tuy nhiên, sự thay đổi này sẽ ảnh hưởng đến tư thế và độ ổn định của hình trụ. Hãy nhớ điều này để bạn không mắc lỗi trong các bài tập liên quan đến tính thể tích!
Phần kết luận
Vậy là chúng tôi đã hướng dẫn bạn cách tính toán. thể tích của xi lanh để các bạn tham khảo. Đây là một nội dung quan trọng trong phần hình học không gian mà mọi người cần nắm vững. Ngoài cách tính thể tích, chúng tôi còn hướng dẫn các bạn tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp các bạn giải bài tập hình học nhanh chóng. Chúc các bạn học tập tốt và đạt điểm cao trong phần hình học không gian!
Hãy theo dõi fanpage tuyengiaothudo.vn và kênh Youtube Kênh Hoàng Hà để bạn không bỏ lỡ bất kỳ thông tin thú vị nào từ chúng tôi!
XEM THÊM:
Thông báo chính thức: Ninh Bình Web (thuộc GiuseArt) không hợp tác với bất kỳ ai để bán giao diện Wordpress và cũng không bán ở bất kỳ kênh nào ngoại trừ Facebook và zalo chính thức.
Chúng tôi chỉ support cho những khách hàng mua source code chính chủ. Tiền nào của nấy, khách hàng cân nhắc không nên ham rẻ để mua phải source code không rõ nguồn gốc và không có support về sau! Xin cám ơn!
