Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp và ví dụ minh hoạ

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp là một trong những nội dung mà các em học sinh lớp 9 cần nắm vững để chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng. Vậy tứ giác nội tiếp là gì? Những tính chất và dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp là gì? Hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây của tuyengiaothudo.vn để biết thêm thông tin chi tiết nhé!

Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp, còn được gọi là tứ giác nội tiếp, là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Các đỉnh của tứ giác nằm trên đường tròn được gọi là các điểm đồng dạng và đường tròn được gọi là đường tròn ngoại tiếp.

Định lý tứ giác nội tiếp: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối bằng 180 độ.

Bên cạnh định lý thuận, một tứ giác nội tiếp còn có định lý đảo sau: Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.

Tính chất của tứ giác nội tiếp

Sau khi hiểu định lý trực tiếp và định lý đảo, bạn cần hiểu các tính chất, dấu hiệu để nhận biết tứ giác nội tiếp. Các tính chất này sẽ giúp bạn áp dụng chúng để giải các bài toán liên quan. Các tính chất cụ thể của tứ giác nội tiếp như sau:

• Theo định lý, trong một tứ giác nội tiếp sẽ có hai góc đối nhau bằng 180 độ.
• Một tứ giác nội tiếp có một góc ngoài ở một đỉnh bằng góc trong ở đỉnh đối diện.
• Mỗi tam giác, dù là tam giác đều, tam giác vuông hay tam giác cân, đều có một đường tròn ngoại tiếp.
• Một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh cách đều một điểm ở giữa gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

Dấu hiệu để nhận biết một tứ giác nội tiếp là gì?

Trong hình học lớp 9, tứ giác nội tiếp là nội dung quan trọng mà học sinh cần nắm vững. Các dấu hiệu để nhận biết tứ giác nội tiếp bao gồm:

• Một tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định, nghĩa là tồn tại một điểm O sao cho OA = OB = OC = OD.
• Một tứ giác có hai góc đối nhau có tổng số đo bằng 180 độ.
• Một tứ giác có góc ngoài ở một đỉnh bằng góc trong ở đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp.

Làm thế nào để chứng minh một tứ giác nội tiếp?

Có nhiều cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp dựa trên các tính chất. dấu hiệu để nhận biết tứ giác nội tiếpDưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ những cách chứng minh tứ giác nội tiếp dễ nhất để bạn tham khảo:

Chứng minh rằng bốn đỉnh cách đều một điểm.

Nếu bài toán đưa ra một đường tròn O, bán kính R, thì bất kỳ điểm nào trên đường tròn đều cách tâm một khoảng cách R. Do đó, dựa trên lý thuyết này, chúng ta có thể nhanh chóng chứng minh rằng một tứ giác nội tiếp. Ví dụ, cho một điểm cố định I và một tứ giác ABCD, để chứng minh rằng đây là một tứ giác nội tiếp, chúng ta cần chứng minh rằng IA = IB = IC = ID. Điểm I là tâm của đường tròn và có bán kính IA.

Chứng minh rằng tổng hai góc đối nhau của một tứ giác bằng 180 độ

Ngoài việc chứng minh rằng một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh cách đều một điểm, bạn cũng có thể chứng minh rằng hai góc đối nhau của tứ giác bằng 180 độ. Ví dụ, cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng góc A + C = 180 độ hoặc góc B + D = 180 độ. Bạn chỉ cần chứng minh rằng một cặp góc đối nhau có tổng bằng 180 độ theo dấu hiệu để nhận biết tứ giác nội tiếp thì đây là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh rằng góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.

Chứng minh này khá đơn giản, bạn cần chứng minh rằng góc ngoài tại đỉnh A bằng góc trong tại đỉnh C thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh tứ giác đặc biệt

Đối với dạng bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bạn có thể chứng minh thông qua các dạng tứ giác đặc biệt như hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, v.v. Từ đây, bạn sẽ suy ra rằng tứ giác trong bài toán là tứ giác nội tiếp.

Cách giải một số dạng bài tập về tứ giác nội tiếp lớp 9

Để giải các bài tập liên quan, bạn cần hiểu các định lý, tính chất, dấu hiệu để nhận biết tứ giác nội tiếp. Khi bạn đã nắm vững kiến ​​thức, bạn sẽ có thể vận dụng linh hoạt vào từng yêu cầu của câu hỏi. Sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra một số ví dụ về bài tập tứ giác nội tiếp thường gặp để bạn tham khảo:

Bài học 1

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao BM và CN cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng AMHN và BNMC là hai tứ giác nội tiếp.

Đây là dạng bài tập phổ biến đối với học sinh lớp 9. Giải bài tập này rất đơn giản. Trước tiên, xét tứ giác AMHN có góc AMH + ANH = 90 + 9- = 180 độ. Theo nhận dạng, tứ giác AMHN có tổng hai góc đối bằng 180 độ, dẫn đến AMHN là tứ giác nội tiếp.

Tương tự, xét tứ giác BNMC có góc BNC = BMC = 90 độ. Theo đó, ta kết luận tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp.

Bài 2

Tứ giác ABCD nội tiếp tâm O, điểm M nằm giữa cung AB. Khi nối điểm M với D, C sẽ cắt cạnh AB tại các điểm E và P. Chứng minh rằng PEDC là tứ giác nội tiếp?

Với bài toán này, ta thấy góc AED bằng 1/2 tổng số đo của cung AD và MB. Do đó, nó bằng 1/2 số đo của cung DM, do đó nó bằng góc MCD. Từ đây, bạn có thể suy ra rằng góc DEP + PCD sẽ bằng 180 độ -> PEDC là tứ giác nội tiếp (cần phải chứng minh).

bài học 3

Cho hình thang ABCD có góc C = D = 60 độ, cạnh CD = 2AD. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Loại vấn đề này cũng thường liên quan đến dấu hiệu để nhận biết tứ giác nội tiếp Lớp 9. Trong các bài học trên lớp và ôn tập, bạn phải nhận được hướng dẫn chi tiết từ giáo viên. Để giải quyết vấn đề này, vui lòng tham khảo các hướng dẫn sau:

• Đầu tiên, ta gọi I là trung điểm của cạnh CD.
• Bây giờ chúng ta có cạnh IC = AB và IC // AB. Từ đây chúng ta có thể suy ra rằng ICBA là hình bình hành nên cạnh BC = AI (1).
• Tương tự như chứng minh trên, ta có AD = IB (2).
• Theo bài toán, ABCD là hình thang nên góc C = D = 60 độ => đây là hình thang cân (3).

Từ ba lập luận trên, ta có thể suy ra ICB, IAD là tam giác đều => AI = IB = IC = ID => các điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn (điều cần chứng minh).

Bài 4

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trong đó, M nằm trên đường tròn, kẻ MH vuông góc với BC tại điểm H và MI vuông góc với AC tại điểm I. Chứng minh rằng tứ giác MIHC là tứ giác nội tiếp.

Hầu hết học sinh lớp 9 thường sợ các bài tập về tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên, miễn là bạn hiểu các định lý, tính chất, dấu hiệu để nhận biết tứ giác nội tiếp thì mọi bài tập đều trở nên đơn giản. Đối với bài tập này, có thể thấy góc MIC bằng góc CHM, cả hai đều bằng 90 độ. Từ đây, ta có thể suy ra MIHC là tứ giác nội tiếp vì nó có hai đỉnh kề nhau và cạnh chứa hai đỉnh còn lại được nhìn từ góc vuông.

Bài 5

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R, tiếp tuyến Ax cùng phía với AB. Từ điểm M, kẻ tiếp tuyến MC, cạnh AC cắt OM tại điểm E và MB cắt nửa đường tròn tại D. Chứng minh rằng các tứ giác AMCO, AMDE, MBCD là các tứ giác nội tiếp.

Trong loại bài tập này, các câu hỏi phức tạp hơn một chút, nhưng dựa trên dấu hiệu để nhận biết tứ giác nội tiếp Giải pháp cũng rất đơn giản. Theo bài toán, MA và MC là các tiếp tuyến, do đó các góc MAO và MCO bằng 90 độ.

Xét tứ giác AMCO, ta có góc MAO + MCO = 180 độ, do đó AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn (cần phải chứng minh).

Tiếp theo, ta có góc ABD bằng 90 độ nên ta có thể suy ra ADM cũng bằng 90 độ.

Ta có OA = OC = R và MA = MC do tính chất của tiếp tuyến.

Do đó, OM sẽ là đường phân giác -> góc AME bằng 90 độ.

Qua các lập luận trên, ta suy ra ADM = AEM = 90 độ.

Do đó, AMDE có hai đỉnh kề nhau là A và E và chúng nhìn vào cạnh MA theo một góc không đổi. Dựa vào dấu tứ giác nội tiếp, AMDE nội tiếp trong đường tròn bán kính MA (cần chứng minh).

Một số lưu ý khi làm bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp lớp 9

Ở trên, chúng tôi đã xem xét phần lý thuyết bao gồm các định lý, tính chất, dấu hiệu để nhận biết tứ giác nội tiếpNgoài ra, chúng tôi cũng đưa ra các ví dụ về các dạng bài tập cụ thể để các bạn hiểu rõ hơn. Tuy nhiên, khi làm bài tập về tứ giác nội tiếp, học sinh cần lưu ý những điều sau:

• Điều đầu tiên cần lưu ý là bạn cần vẽ hình ảnh chính xác theo yêu cầu của câu hỏi. Chỉ khi bạn vẽ hình ảnh chính xác, bạn mới dễ dàng xác định được điều cần chứng minh.
• Đối với các góc, các đường thẳng cần được đánh dấu rõ ràng để tránh nhầm lẫn.
• Bạn cần nắm vững kiến ​​thức lý thuyết và bám sát yêu cầu của câu hỏi để tránh bị lạc đề.
• Hãy chú ý đến yêu cầu của câu hỏi, đây là những gợi ý giúp bạn chứng minh dễ dàng hơn.
• Cuối cùng, học sinh không nên dùng những gì cần chứng minh để chứng minh lại. Đây là lỗi thường gặp trong các bài tập về tứ giác nội tiếp của học sinh lớp 9.

Ngoài những lưu ý trên, khi học ở trường, các em cần chú ý nghe giảng của giáo viên và ghi chép đầy đủ. Các em cần nắm vững kiến ​​thức trên lớp và luyện tập thêm ở nhà. Để giúp các em học tốt hơn phần hình tứ giác nội tiếp, phụ huynh có thể mua thêm cho con em mình những cuốn sách tham khảo và hỗ trợ. Nếu cần thiết, phụ huynh có thể cho con em mình đi học tại trung tâm hoặc mua khóa học trực tuyến.

Phần kết luận

Trong bài viết trên, chúng tôi đã chia sẻ các định lý, tính chất, dấu hiệu để nhận biết tứ giác nội tiếp để các bạn tham khảo. Ngoài nội dung lý thuyết, chúng tôi còn cung cấp các ví dụ minh họa để các bạn học sinh có cái nhìn trực quan và dễ hiểu hơn. Tứ giác nội tiếp là một trong những nội dung quan trọng của hình học lớp 9. Các em học sinh cần nắm chắc kiến ​​thức này để phục vụ cho kỳ thi lớp 10 sắp tới. Chúc các em học tập tốt, đạt kết quả học tập tốt, xứng đáng với công sức của mình.

Hãy theo dõi fanpage tuyengiaothudo.vn và kênh Youtube Kênh Hoàng Hà để bạn không bỏ lỡ bất kỳ thông tin thú vị nào!

XEM THÊM: