Công thức tính thể tích hình cầu và diện tích hình cầu

Công thức tính thể tích hình cầu và diện tích hình cầu là kiến ​​thức mà các em học sinh cần nắm vững để chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới. Việc nắm được công thức này cũng giúp các em ôn tập và làm bài tập nhanh hơn. Nếu các em vẫn chưa hiểu về hình cầu và các công thức xung quanh nó thì có thể tìm hiểu qua bài viết sau.

Hình cầu là gì?

Trước khi tìm hiểu về thể tích và diện tích hình cầu, chúng ta phải tìm hiểu về hình cầu và mặt cầu. Trong không gian 3 chiều, theo toán học, khi ta quay một nửa hình tròn (tâm O, bán kính R) quanh một đường kính cố định AB, ta sẽ thu được một hình cầu:

• Hình bán nguyệt của phép quay ở trên là một hình cầu.
• O được coi là tâm của hình cầu và R là bán kính bên trong hình cầu hoặc hình cầu.

Hình cầu là gì?

Hình cầu bao gồm các điểm nằm cách tâm O của hình cầu một khoảng cách nhất định và không đổi. Đây là bán kính R và R = OA.

Hình cầu là gì?

Ngoài ra, hình cầu còn có những tính chất sau:

• Bất kỳ đường thẳng nào cắt một hình cầu và đi qua tâm của nó đều là trục đối xứng trong hình cầu. Quay một hình cầu quanh một trục đối xứng ở bất kỳ góc nào cũng khiến nó trở thành chính nó.
• Mặt phẳng phản xạ trong một hình cầu là mặt phẳng có thể cắt hình cầu qua tâm của hình cầu và chia hình cầu này thành hai phần bằng nhau.

Công thức tính thể tích và diện tích hình cầu

Sau khi có hiểu biết sơ lược về hình cầu và bề mặt hình cầu, tiếp theo bạn nên học công thức dùng để tính diện tích và thể tích của hình cầu như sau:

Công thức dùng để tính diện tích (S) của hình cầu

Theo khái niệm trên, S của một hình cầu bằng 4 lần S của một hình tròn lớn hoặc 4 lần Pi (π) nhân với bán kính bình phương của hình cầu.

Vậy cách tính diện tích hình cầu là: S = 4π xr^2 = π xd^2

Trong đó:

• S: Diện tích hình cầu
• r: Bán kính của hình cầu/hình cầu
• d: Đường kính của hình cầu/hình cầu
• π: hằng số xấp xỉ 3,14

Công thức dùng để tính diện tích (S) của hình cầu

Công thức dùng để tính diện tích (S) của hình cầu

Để tính hình cầu S, bạn sử dụng công thức: Sxq = 4 x π xr^2

Trong đó:

• Sxq: Diện tích hình cầu
• π: Hằng số 3,14
• r: bán kính hình cầu

Công thức dùng để tính diện tích (S) của hình cầu

Công thức dùng để tính thể tích (V) của một hình cầu

Để tính thể tích của một hình cầu, bạn cần tìm bán kính của hình cầu hoặc tìm đường kính của hình cầu. Sau đó, bạn thay thế chúng vào công thức sau:

V = (4 x π xr^3)/ 3

Trong đó:

• V: Thể tích của quả cầu (m3)
• π: Giá trị gần 3,14
• r: Bán kính của hình cầu
• d: Bán kính của hình cầu/hình cầu

Lưu ý: Thể tích của hình cầu có đơn vị là mét khối (m3, cm3, …)

Công thức dùng để tính thể tích (V) của một hình cầu

Hướng dẫn chi tiết về cách tính thể tích hình cầu

Sau đây là các bước tính thể tích hình cầu mà bạn có thể tham khảo để giải bài tập:

Bước 1: Viết ra giấy công thức tính V của một hình cầu

Bây giờ bạn cần viết công thức V = (4 x π xr^3)/ 3 ra giấy để dễ tính toán chính xác từng thành phần trong công thức.

Hướng dẫn chi tiết về cách tính thể tích hình cầu

Bước 2: Đọc kỹ câu hỏi và tìm bán kính.

Tiếp theo, hãy đọc kỹ thông tin trong bài toán. Nếu bài toán đã có độ dài bán kính, bạn tiếp tục viết nó ra giấy. Nhưng nếu bài toán đã cho đường kính, mọi người có thể sử dụng công thức V = 1/6 x π xd^3. Hoặc bạn lấy độ dài đường kính của hình cầu và chia cho 2 để tìm bán kính và sử dụng công thức để tính thể tích của hình cầu đã viết ở bước 1.

Nếu bài toán khó hơn và chỉ có dữ liệu về S của hình cầu được đưa ra, bạn sẽ tìm ra bán kính của hình cầu bằng cách lấy S của hình cầu và chia cho 4π. Sau đó, bạn lấy kết quả này và đưa vào căn bậc hai để tính toán. Cụ thể, công thức tính bán kính của hình cầu theo cách này là: r = √(S/4π).

Bước 3: Tính lũy thừa bậc ba của r

Tiếp theo, bạn tính lũy thừa lập phương của r bằng cách lấy bán kính nhân với 3 hoặc bạn có thể nâng bán kính lên lũy thừa 3.

Ví dụ: (2cm)^3 = 2cm x 2cm x 2cm = 8

(3cm)^3 = 3cm x 3cm x 3cm = 27

Bước 4: Nhân lũy thừa bậc ba của r với 4/3

Sau đó, bạn thay thế kết quả r^3 đã tính toán thành V = (4 x π xr^3)/ 3 để có công thức nhỏ gọn hơn. Ví dụ, nếu bán kính của một hình cầu là 1 cm, thì thể tích là V = 4/3 x π x 1 hoặc V = 4/3π

Bước 5: Bạn nhân kết quả trên với số Pi cụ thể

Cuối cùng, đưa số Pi cụ thể vào công thức tính thể tích hình cầu và nhân 3,14 với 4/3. Hoặc bạn có thể đưa số π vào kết quả như V = 4/3π là xong.

Ví dụ V = 4/3 x 3,14 = 4,19 cm3. Vậy kết luận là thể tích của hình cầu có bán kính là 1.

Một số bài toán về thể tích hình cầu và diện tích hình cầu có lời giải

Ngoài việc học công thức tính V của hình cầu, bạn nên học thêm một số bài tập để áp dụng các công thức này.

Bài tập 1

Câu hỏi: Cho một đường tròn tâm O và bán kính = 9m. Tính S của hình cầu?

Trả lời: Đầu tiên, bạn lấy độ dài bán kính thay cho công thức tính diện tích hình cầu là 4 x π x R^2 và thu được:

Diện tích = 4 x 3,14 x 9^2 = 1017,36 (m2)

Bài tập 2

Câu hỏi: Cho một hình tròn có tâm O và đường kính = 2,5cm. Hãy tính S của hình cầu này?

Trả lời: Để tính S của hình cầu trong bài toán trên, bạn lấy độ dài đường kính thay vào công thức tính diện tích hình cầu là π xd^2 và thu được:

Diện tích = 3,14 x (2,5)^2 = 19,625 (cm2)

Bài tập 3

Câu hỏi: Cho một hình cầu có đường kính 6cm. Tính diện tích toàn phần của hình cầu đó?

Trả lời:

Vì d = 6cm nên ta có thể suy ra bán kính của hình cầu = d/2 = 3cm

Vậy S của hình cầu trên là 4 x π x R^2 = 4 x π x 3^2 = 36π (cm2)

Bài tập 4

Câu hỏi: Tính số quả cầu V có đường kính dài 4cm?

Trả lời:

r = d/2 = 2cm

Khi đó V của hình cầu = 4/3 x π xr^3 = 4/3 x 3,14 x 2^3 = 33,49 (cm3)

Bài tập 5

Câu hỏi: Cho một hình cầu có V là 288π cm3. Đường kính của hình cầu là bao nhiêu?

Trả lời:

Vì V = 4/3 x π xr^3 = 288π, ta có thể suy ra bán kính của hình cầu = 6cm.

Vậy đường kính = 2r = 2 x 6 = 12 cm

Bài tập 6

Câu hỏi: Cho 2 quả cầu có đường kính d và chiều dài bằng 1,5cm. Hãy tính V của quả cầu?

Trả lời:

Đường kính = 1,5cm nên R = 0,75 cm và cụ thể bằng 7,5 x (10)^-3 (m)

Vậy thể tích của hình cầu = 1/3 x π x R^3 = ⅓ x π x (7,5 x 10^-3)^3 = 4,42 x 10^-6 (m3)

Bài tập 7

Câu hỏi: Tính thể tích của hình cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng 3cm?

Trả lời: Giả sử bán kính của hình cầu ngoại tiếp hình lập phương là R. Do đó ta có cạnh CE = AB x √3 = 3√3 (cm).

Từ đó ta suy ra bán kính = 1/2 CE = (3√3)/2 (cm)

Do đó, thể tích của hình cầu = V = 4/3 x π x R^3 = 4/3 x π x ((3√3)/2))^3 = (27√3)/2 x π (cm3)

Bài tập 8

Câu hỏi: Cho một kim tự tháp có tên là S.ABC với đáy là tam giác vuông tại A. Cạnh SA ⊥ (ABC) và AB = b, SA = a, AC = c. Bán kính của hình cầu đi qua các điểm S, A, C, B là bao nhiêu?

Trả lời:

Ta gọi trung điểm của cạnh BC là điểm M. Lúc này MA = MB = MC. Do đó, M là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC như hình vẽ.

Sau đó, ta dựng đường thẳng Mt vuông góc với mặt phẳng ABC và ta được Mt song song với cạnh SA và Mt cũng là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong mặt phẳng tạo bởi các cạnh SA và Mt, đường phân giác vuông góc của SA sẽ cắt đường thẳng Mt tại điểm I. Ta có:

• IA = IS và IC = IB = IA
• Từ đó ta có thể suy ra IA = IB = IC = IS
• Từ đó suy ra I là tâm của hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.

Khi đó bán kính của hình cầu là: R = IA = √AM^2 + MI^2. Trong đó:

• AM = BC/2 = 1/2 √AB^2 + AC^2 = 1/2 √b^2 + c^2
• MI = SA/2 = a/2
• Vậy bán kính = √((b^2 + c^2)/4) + (a^2/4 ) = 1/2 √a^2 + b^2 + c^2

Một số bài toán tự luyện tính thể tích hình cầu và diện tích hình cầu

Sau đây là một số bài tập tự luyện về tính thể tích, diện tích hình cầu mà bạn có thể tham khảo:

Bài tập 1: Cho một hình cầu S có bán kính r và một hình cầu S’ có bán kính r’. Biết rằng r’ = 2r. Tỷ số diện tích của hai hình cầu S’ và S là bao nhiêu?

1. S = 1/2
2. S = 1/3
3. S = 2
4. S = 4

Bài tập 2: Cho một hình cầu có bán kính r, diện tích S và thể tích V. Công thức nào sau đây là sai?

1. S = πr^2
2. S = 4πr^2
3. S = 2πr^2
4. S = 4/3πr^2

Một số phép tính tự thực hành để tính thể tích hình cầu và diện tích hình cầu

Bài 3: Cho một hình cầu có bán kính r. Vậy S của hình cầu là bao nhiêu?

1. S = 4πr^2
2. S = 6πr^2
3. S = 2πr^2
4. S = πr^2

Bài 4: Cho một hình cầu có bán kính r. Khi đó V của hình cầu sẽ là?

1. S = (4πr^2)/3
2. S = (3πr^3)/4
3. S = (4πr^3)/3
4. S = (2πr^3)/3

Bài 5: Cho một tứ diện đều ABCD có cạnh đáy dài a. Tính V mặt cầu ngoại tiếp bởi tứ diện này?

1. (πa^3√6)/8
2. (πa^3√6)/6
3. (πa^3√6)/4
4. (3πa^3√6)/8

Bài viết trên đã chia sẻ chi tiết về hình cầu và công thức tính thể tích hình cầu và diện tích hình cầu để mọi người cùng học. Hy vọng các em học sinh sẽ hiểu được các công thức trên và cách giải bài tập nhanh chóng. Đây là kiến ​​thức giúp các em học hình học trên lớp tốt hơn.

Xem các bài viết liên quan: