Công thức tính thể tích khối tròn xoay và ví dụ minh họa

Tính thể tích khối tròn xoay là một trong những đề bài toán học cực kỳ thú vị được ứng dụng trong hình học không gian cấp bậc trung học. Nhờ vào công thức chúng ta có thể dễ dàng tính được thể tích vật thể khối tròn xoay quanh trục Oy và Ox. Thông qua bài viết dưới đây, hãy cùng tuyengiaothudo.vn tìm hiểu công thức thể tích khối tròn xoay trong hình học không gian và vận dụng vào thực tế nhé! 

Định nghĩa thể tích khối tròn xoay

Trước khi tìm hiểu về công thức thể tích khối tròn xoay thì bạn cần phải hiểu được rõ ràng về định nghĩa khái niệm thể tích khối tròn xoay. Trong hình học không gian, khối vật thể tròn xoay được định nghĩa đó là một hình khối được tạo ra thông qua việc xoay xung quanh trục Ox hoặc Oy cố định. Đối với chương trình hình học không gian trung học phổ thông, các bạn sẽ được học về thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu vật thể tròn xoay. 

Bạn đang xem: Công thức tính thể tích khối tròn xoay và ví dụ minh họa

Công thức thể tích khối tròn xoay là gì? 

Công thức thể tích khối tròn xoay dùng để tính được toàn bộ thể tích của vật thể được tạo ra thông qua một đường cong quay xung quanh một trục cố định. Đây là công thức được sử dụng trong trường hợp đó là vật thể hình dạng tròn xoay. 

Để có thể tính được thể tích của khối vật thể tròn xoay thì bạn cần phải nắm được thông tin về số đo đường cao và trục quay.  Như vậy, công thức thể tích khối tròn xoay được xác định đó là: V = π ∫[a, b] [f(x)]^2 dx. Trong đó các yếu tố của công thức được xác định như sau: 

• V được định nghĩa là thể tích của khối tròn xoay. 
• π được định nghĩa là hằng số pi, có giá trị gần bằng 3.14. 
• [a,b] được định nghĩa là số đo khoảng cách giới hạn đường cong, nghĩa là số đo của phần [a,b] nằm trên trục khi vật thể xoay xung quanh.
• f(x) được định nghĩa là hàm số cần được mô tả đường cong tạo ra khối tròn xoay trong khoảng độ dài [a,b]. 

Để có thể hiểu hơn, bạn có thể tham khảo ví dụ dưới đây: Tính thể tích khối tròn xoay xung quanh trục Oy có phương trình Oy= x^2 nằm trên khoảng cách từ x=0 đến x=4. Áp dụng công thức trên bạn có thể đưa ra được kết quả sau: 

V = π ∫[0, 4] (x^2)^2 dx = π ∫[0, 4] x^4 dx

=> V= π [x^5/5] [0, 4] = π * (4^5/5 – 0^5/5) = 12π

Sử dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay trên ta được kết quả đó là 12π. 

Điểu kiện cần để áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay 

Để có thể áp dụng được công thức thể tích khối tròn xoay được nêu trên cần phải đáp ứng điều kiện cần trong toán học. Điều kiện cần đó là khối tròn xoay được tạo ra thông qua việc quay xung quanh một trục cố định. Có nghĩa phần vật thể này sẽ được một đường cong cố định và xoay xung quanh trục nhất định để tạo ra hình dạng vật thể tròn xoay. Cụ thể, để áp dụng được khối tròn xoay thì cần phải đáp ứng được đầy đủ các thông tin sau: 

• Đường cong xác định cố định được khối vật thể: Phần đường cong này sẽ được xác định thông qua một hảm số biểu diễn đó là y= f(x) hay x= g(y). Trong đó f(x) và g)y) được định nghĩa là phương trình hàm số liên trục nằm trong đoạn khoảng cách [a,b] với điều kiện a < b. 
• Đoạn [a,b] là khoảng cách phạm vi cần được xác định có trong hàm số của công thức tính thể tích V. 
• Trục quanh Ox hoặc Oy là ký hiệu đại diện biểu diễn cho các trục cố định được khối tròn quay xung quanh. 

Nhìn chung, để có thể tính được thể tích V của khối tròn xoay thì bạn cần phải xác định phần đường cong được định hình của khối tròn. Cùng với phần phạm vi xác định bao gồm trục cố định và đường cong khối tròn quay xung quanh. Cuối cùng, áp dụng được công thức thể tích khối tròn xoay dựa vào hàm số đường xong cùng phạm vi đã được xác định để tính được thể tích V theo đề bài. 

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức nào khác? 

Xem thêm : Danh sách nhạc trữ tình HAY NỨC LÒNG người nghe

Ngoài công thức thể tích khối tròn xoay được nêu trên, vật thể tròn xoay còn được tính dựa theo công thức khác. Đầu tiên, cần phải xác định được miền (D) mà vật thể xoay xung quanh. Khu vực miền này sẽ được giới hạn bởi phần đồ thì biểu diễn bởi phương trình hàm số y= f(x), với đoạn thẳng hàm số x=a, x=b và xoay xung quanh trục Ox.

Tiếp theo, tiến hành tính diện tích S được quay xung quanh trục Ox của phần diện tích giới hạn D với công thức đó là S = ∫[a,b] (π[f(x)]^2)dx. Cuối cùng tiến hành tính thể tích V khối tròn xoay bằng cách lấy diện tích đã tính được nhân với chiều dài L vòng quanh trục Ox. 

Do đó, công thức tính thể tích khối tròn xoay sẽ được tính theo công thức khác đó là: V= S * L. Khi áp dụng công thức này thì bạn sẽ tính được thể tích với vật thể khối tròn xoay một cách chính xác và đơn giản hơn. 

Hướng dẫn tính thể tích khối tròn xoay chi tiết 

Sau khi biết được công thức thể tích khối tròn xoay nhưng nhiều bạn chưa nắm được nguồn gốc các bước chi tiết tính thể tích khối tròn xoay. Dưới đây là các bước hướng dẫn chi tiết tính thể tích vật thể tròn xoay như sau: 

• Bước 1: Đầu tiên, cần xác định được khu vực miền giới hạn của vật thể bởi phương trình biểu diễn hàm số hoặc đường cong được vật thể quay xung quanh. 
• Bước 2: Tiếp theo, xác định phần đoạn thẳng trục Ox được khối tròn quay xung quanh. Trục Ox là trục đối xứng của khối tròn. 
• Bước 3: Sau đó, tiến hành tính diện tích S phần miền giới hạn được quay xung quanh trục Ox, đây là phần diện tích được tạo ra bởi miền giới hạn khi quay xung quanh trục Ox.
• Bước 4: Tiếp theo, áp dụng công thức tính thể tích V khối tròn xoay V = π∫(S)dx. Trong đó, π được định nghĩa là số Pi có giá trị xấp xỉ 3.14 và ∫(S)dx là công thức tích phân được xác định phần diện tích S quanh xung quanh trục X. 
• Bước 5: Cuối cùng thực hiện phép tính tính phân để có thể xác định phần giá trị thể tích V của khối tròn xoay.

Thông qua các bước trên ta có thể tính được toàn bộ thể tích của khối tròn xoay cần tính. 

Vì sao học sinh cần phải nắm rõ công thức thể tích khối tròn xoay?

Công thức thể tích khối tròn xoay là một trong những công thức quan trọng trong toán hình học không gian. Công thức này được sử dụng để tính thể tích của các vật thể tròn xoay, chẳng hạn như hình trụ, hình nón, hình cầu,… Việc nắm rõ công thức tính thể tích khối tròn xoay có những ý nghĩa quan trọng sau:

• Giúp học sinh hiểu rõ bản chất của khối tròn xoay. Công thức tính thể tích khối tròn xoay được suy ra từ định nghĩa của thể tích. Khi học sinh nắm rõ công thức này, họ sẽ hiểu được mối quan hệ giữa thể tích và các yếu tố của khối tròn xoay, chẳng hạn như bán kính, chiều cao,…
• Giúp học sinh giải các bài tập về khối tròn xoay một cách chính xác và nhanh chóng. Các bài tập về khối tròn xoay thường có nhiều dạng khác nhau, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về hình học không gian. Khi nắm rõ công thức tính thể tích khối tròn xoay, học sinh sẽ dễ dàng giải các bài tập này.
• Giúp học sinh vận dụng kiến thức hình học không gian trong thực tế. Khối tròn xoay là một loại vật thể phổ biến trong thực tế, chẳng hạn như lon nước, chai nước, cốc,… Khi nắm rõ công thức tính thể tích khối tròn xoay, học sinh có thể tính toán thể tích của các vật thể này một cách chính xác.

Tầm quan trọng của công thức thể tích khối tròn xoay trong hình học và cuộc sống

Việc vận dụng công thức thể tích khối tròn xoay trong hình học và cuộc sống rất quan trọng. Bởi vì trong các ngành nghề đều yêu cầu các kỹ sư cần phải tính toán chính xác được hiệu quả thể tích V của khối tròn xoay.

Trong hình học không gian

Dưới đây là tầm quan trọng việc áp dụng hiệu quả công thức tính thể tích V khối tròn xoay trong hình học không gian. 

• Ứng dụng riêng biệt trong ngành vật lý, đặc biệt là cơ học. Ví dụ khi cần phải tính được khối lượng của một vật thể được tạo thành thông qua việc quay xung quanh một trục. Lúc này ta cần phải nắm được thông tin thể tích của khối vật thể đó để tính khối lượng.
• Trong trường hợp về khối tròn xoay thì thể tích là thuật ngữ cực kỳ quan trọng được sử dụng để có thể tính được phần diện tích mặt cắt và phần diện tích của bề mặt có khối hình dạng tròn xoay.

Trong cuộc sống

Dưới đây là tầm quan trọng việc áp dụng hiệu quả công thức tính thể tích V khối tròn xoay trong cuộc sống. 

• Việc áp dụng công thức tính thể tích giúp hiểu rõ hơn được về tính chất về hình học của khối tròn xoay. Bên cạnh đó, chúng ta sẽ nắm được phần vị trí với trục quay, kích thước và đặc điểm của khối tròn xoay. Đây là các yếu tố rất quan trọng để áp dụng những thông số khác để tính thể tích vật thể. 
• Dễ dàng áp dụng vào các bài toán thực tế với các ngành nghề khác như kỹ thuật, xây dựng, ngành công nghiệp và thiết kế. Khi nắm vững được công thức tính thể tích khối tròn xoay thì sẽ có thể tính toán được phần vật liệu cần sử dụng một cách chính xác, hiệu quả. 
• Thể hiện đươc kỹ năng giải quyết vấn đề khi áp dụng được công thức tính thể tích khối tròn xoay. Không chỉ thể hiện về mặt kiến thức về toán học mà còn cho thấy được khả năng tư duy, giải quyết vấn đề và tổ chức được thông tin của bạn một cách rõ ràng.

Không dùng công thức thể tích khối tròn xoay thì có thể tính được không? 

Nếu không sử dụng công thức thể tích khối tròn xoay thì có thể tính được. Tuy nhiên, cách tính sẽ phức tạp hơn và đòi hỏi nhiều bước hơn. Cách tính thể tích vật thể tròn xoay dựa trên nguyên lý tích phân. Thể tích của vật thể tròn xoay được tính bằng cách chia nhỏ vật thể thành nhiều phần nhỏ, mỗi phần là một hình tròn. 

Diện tích của mỗi phần hình tròn được tính bằng công thức πr², trong đó r là bán kính của hình tròn. Sau đó, ta tính tổng diện tích của tất cả các phần hình tròn này bằng cách tính tích phân.

Ví dụ, để tính thể tích của khối nón tròn xoay, ta có thể chia khối nón thành nhiều phần nhỏ, mỗi phần là một hình nón nhỏ. Diện tích của mỗi phần hình nón nhỏ được tính bằng công thức πr²h/3, trong đó r là bán kính đáy của hình nón nhỏ, h là chiều cao của hình nón nhỏ. Sau đó, ta tính tổng diện tích của tất cả các phần hình nón này bằng cách tính tích phân.

Công thức tích phân tính diện tích của hình tròn nhỏ là: S = π∫[a,b] (f(x))^2 dx. Trong đó:

• S được định nghĩa là diện tích của hình tròn nhỏ
• f(x) được định nghĩa là phương trình của hàm số giới hạn miền D của vật thể tròn xoay
• a và b được định nghĩa  là hai điểm giới hạn của miền D

Công thức thể tích khối tròn xoay được áp dụng trong lĩnh vực nào? 

Đối với công thức thể tích khối tròn xoay được áp dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau trong cuộc sống như: 

Lĩnh vực toán học: Đây là một trong những bài toán cực kỳ cơ bản có trong phần hình học không gian lớp 12. Đối tượng bài toán này đó chính là khối tròn được tạo thành bởi việc quay quanh đường cong đã được xác định. Dạng toán này yêu cầu học sinh phải nắm vững được kiến thức về phần diện tích S và thể tích V của khối cầu, hình trụ hay những hình khác được biểu diễn bởi đường cong. 

Lĩnh vực kỹ thuật: Trong lĩnh vực này việc tính được thể tích tròn xoay rất cần thiết. Cụ thể như thiết kế các hệ thống đường ống thì cần tính được chính xác phần thể tích của ống để có thể xác định chính xác phần dung tích chứa chất cần được sử dụng.

Lĩnh vực xây dựng: trong lĩnh vực này phần thể tích V của khối tròn xoay thường được dùng để có thể tính toán chính xác các công trình có hình dạng tron xoay. Ví dụ như các cột xi măng, ao hồ, hồ đất. Để có thể tiến hành xây dựng chính xác thì cần phải tính được thể tích V của khối tròn xoay, 

Lĩnh vực thiết kế sản phẩm: Đối với lĩnh vực này, khi tính được thể tích vật tròn xoay sẽ xác định được phần dung tích một số sản phẩm có hình dạng tròn xoay như ống hút, hũ, lọ, vòng bi,… 

Tổng kết

Thông qua bài viết trên, tuyengiaothudo.vn đã giúp bạn nắm được công thức thể tích khối tròn xoay một cách chi tiết. Bên cạnh đó, bạn có thể nắm được tầm quan trọng của công thức thể tích hình học khối tròn xoay và việc áp dụng công thức này trong cách lĩnh vực thực tế như thế nào.

Xem thêm:

Nguồn: https://tuyengiaothudo.vn
Danh mục: Khám phá